Les fractales, explications

Comme promis, je fais un article pour expliquer un peu les fractales.

Une fractale (ou un objet fractal) est une courbe, surface, voire un volume qui a une forme irrégulière ou morcelé qui se créé en suivant des règles strictes. Une caractéristique des fractales est que l’on peut zoomer autant de fois que l’on veut dessus, on doit toujours pouvoir trouver des éléments aussi détaillés et donc, souvent, les fractales ont un périmètre (ou une surface dans le cas des fractales 3D) infini.

Dans cette article, je ne n’expliquerais que les ensembles de mandelbrot et de julia, sinon, j’y passerais des années.

L’ensemble de mandelbrot est défini par l’ensemble des points du plan complexe tel que la suite Zn+1 = Zn² + c avec Z0 = 0 et c = x + iy ne tende pas vers l’infini en module. Je sens que j’en ai perdu une bonne partie en route, je vais donc expliquer un peu plus : Zn est un suite récurrente. Son premier terme Z0 est égal à 0 et un terme de la suite est égal au carré du précédent plus c. c (tout comme les termes de la suite Zn) est un nombre complexe, c’est-à-dire qu’il est composé de deux parties : la partie réel et la partie imaginaire. La partie réel est un nombre comme les autre, la partie imaginaire est plus difficile à appréhender car c’est un réel multiplié par i et c’est là que les délires arrivent car la définition de base de i est i² = -1 alors qu’un nombre au carré devrait toujours être positif, mais c’est comme ça et pas autrement. “Ne tende pas vers l’infini en module” veut tout simplement dire que le module (du nombre complexe) ne tende pas vers l’infini. Le module étant défini par la somme du carré des deux partie du nombre complexe. Si on prend c = 3 + i5 comme nombre complexe son module sera égal à 3² + 5², soit 34. Pour savoir si la suite tend vers l’infini, il suffit de regarder si elle dépasse 4, dans ce cas, elle tend vers l’infini. Voici l’ensemble de mandelbrot (en noir)

Pour les ensembles de Julia, c’est la même chose, sauf que Z0 = x + iy et c = n’importe quel nombre complexe choisi plus ou moins au hasard.

Voilà pour les explications mathématiques, les explications sur l’implémentation en c++ ou php, ça sera pour ce week-end.

Un commentaire

  • Santinele (81 comments), le 18 mars 2010

    Yes !…c’est trop bon !
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    J’en conclu qu’il est très difficile de dessiner la représentation graphique d’une équation complexe à la main, sur sa copie de Bac…
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    Sans parler de matérialisation de la représentation graphique…j’imaginerais bien un objet fractal matérialisé, en polyuréthane ou autre. Mais si la surface d’un objet fractal est infini, c’est dément…
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    C’est comme les dessins de M.-C. Escher (http://images.google.fr/images?hl=fr&source=hp&q=mc%20escher&aql=&gs_rfai=&um=1&ie=UTF-8&sa=N&tab=wi), çà envoie un sacré coup de pied dans notre univers tridimensionnel quotidien et ouvre certaines portes de perceptions…on y revient…

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